проект по теме Системы счисления


Проектная работа по теме:

« Представление информации в компьютере. Система счисления».

г. Новороссийск 2010-2011

учебный год

Проектная работа

по информатике

ученицы 10 класса

Муниципального образовательного учреждения

«Технико-экономического» лицея.

Чемеричко Ирина Александровна

Руководитель проекта учитель информатики: Николаева Н.Н

Содержание

1.История

2.Как представляются в компьютере целые числа

3.Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами

4.Система счисления

5.Способ записи чисел в позиционных системах счисления

6.Системы счисления

7.Основы машинной арифметики

8.Перевод из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

9.Перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную

10.Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

11.Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

12.Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

13.Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно

14.Самостоятельные работы

Введение

Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно узнать, как компьютер получает информацию, как он производит арифметические действия над числами. Еще мне хотелось узнать, что такое система счисления, ее виды, как считали в разные века, в разных странах люди. Как переводить одну систему счисления в другую.

Немного истории

   Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рублей) и т.д. и т.п. Числа, цифры… они с нами везде. А две тысячи лет назад, что знал человек о числах? А пять тысяч лет назад? Вопрос не простой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет тому назад люди могли записывать числа, могли производить над ними арифметические действия. Но записывали они числа совершенно по другим принципам, нежели мы в настоящее время. В любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов. В математике и информатике принято символы, участвующие в записи числа, называть цифрами. Но что же люди понимают под словом «число»? Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Появление дробных чисел было связано с необходимостью производить измерения (сравнения с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона). Но так как единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине, то возникла практическая потребность ввести более «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики. Для повседневных вычислений используется десятичная система счисления, предшественницей которой является индусская десятичная система, возникшая примерно в XII-м столетии. В современной науке с развитием компьютерной техники на первые роли выдвинулась двоичная система счисления. Ее зачатки наблюдаются у многих народов. Например, у древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе удвоения. Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Оказывается, к открытию двоичной системы счисления имели отношение многие математики, в частности, Фибоначчи.

Как представляются в компьютере целые числа?

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака

Обычно  занимают  в  памяти  компьютера  один  или  два  байта.     В  однобайтовом  формате  принимают  значения  от  000000002   до   111111112.     В двухбайтовом формате — от  00000000 000000002   до   11111111 111111112.  

-Примеры:

а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате:

Проект старинная система числение самое главное

б) это же число в двухбайтовом формате:

Проект старинная система числение самое главное

в) число 65535 в двухбайтовом формате:

Проект старинная система числение самое главное 

Целые числа со знаком

Обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.  

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа в байтах

Диапазон

Запись с порядком

Обычная запись

1

-27 … 27-1 

-128 … 127 

2

-215 … 215-1 

-32768 … 32767

4

-231 … 231-1 

-2147483648 … 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины — семь разрядов.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком:  прямой код,   обратный код,   дополнительный код.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково  —  двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:  

Проект старинная система числение самое главное

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например:

Проект старинная система числение самое главное

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например:  

Проект старинная система числение самое главное

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:  

Проект старинная система числение самое главное

Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?

Сложение и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:   Проект старинная система числение самое главноеПолучен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:   Проект старинная система числение самое главноеПолучен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -710.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Проект старинная система числение самое главное  Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:   Проект старинная система числение самое главное

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1110 вместо обратного кода числа -1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -1010.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2n-1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2n-1 = 27 = 128). Например:   Проект старинная система числение самое главное

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2n-1. Например:

Проект старинная система числение самое главное

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:   Проект старинная система числение самое главное  Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -710.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:   Проект старинная система числение самое главноеПолучен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:   Проект старинная система числение самое главноеПолучен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.

Проект старинная система числение самое главное

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют системы позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем

Десятичная система счисления:

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 — основание системы, и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — число сотен и т.д.

Двоичная система счисления:

В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Например, при подаче сигнала тока возможны 2 случая — есть сигнал (1) и нет сигнала (0).

Восьмеричная система счисления:

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное).

Шестнадцатеричная система счисления:

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).

Условимся записывать основание системы счисления справа от числа.

Способ записи чисел в позиционных системах счисления

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и таким образом мы продвигаемся от одного числа к другому.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание можно принять любое натуральное число, начиная с двойки — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Позиционной системы счисления с основанием 1 быть не может.

Продвижением цифры называют замену ее следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 — значит заменить ее на 2, продвинуть цифру 2 — значит заменить ее на 3 и т.д. Но в позиционной системе счисления цифр ограниченное количество, как же продвинуть старшую цифру (например 9 в десятичной системе счисления)?

Продвижение старшей цифры означает замену ее на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются по правилу счета:

для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа(в младшем разряде); если после продвижения какая-либо цифра стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от нее (по умолчанию слева 0).

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, «по-арабски». Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке.

Но тем не менее числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни использовали буковки, другие — значки, третьи — закорючки. У кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.

Ведь не так-то просто даже имея цифры (значки, которыми записываются числа), записать какое-нибудь число. Для этого нужна система счисления (способ записи чисел с помощью цифр). (Сразу хочу предупредить, что системы счисления бывают непозиционными и позиционными или аддитивными и мультипликативными).

Самая простая система счисления была еще у древних людей. Какое число нужно записать, столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков положат. Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число 1 000 записанное с помощью кучки камушков, а 1 000 000?. Неудобно?

Тогда стали люди придумывать как по другому записывать большие числа. Для начала решили, что каждые 10 палочек заменять загогулинкой, и счет пошел легче! Так появилась аддитивная система счисления.

Но люди никогда не стоят на месте, они постоянно чего-нибудь изобретают. Не захотелось людям вырисовывать по десятку палочек да загогулинок, и решили каждое круглое число обозначить по-особому. Но для этого потребовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Так и появилась на свет алфавитная аддитивная система счисления. Такая система очень долго использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее пределами.

Но далеко не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков (об алфавитах и слоговых знаках здесь). В Китае иероглифы не позволили появиться такой системе счисления, и тогда ученые изобрели немного другую систему, названную мультипликативная система счисления. Эта система имела одно очень важное свойство: в ней одна и та же цифра, в зависимости от расположения в записи числа могла иметь разные значения. Именно такой системой счисления мы с Вами сейчас и пользуемся.

Системы счисления

Система счисления — очень сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними.

Самое главное, что нужно знать о системе счисления — ее тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет свое значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10-1+10 = 219;

Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:

Проект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главное

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)Здесь дважды использован иероглиф «2», и в каждом случае он принимал разные значения «2000» и «20».

 

2X1000 + 4X100+2X10+5 = 2425

Для аддитивной системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4 — 5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5-1) = 4; VI = (5+1) = 6).

Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется «десятичная». В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления — десятичная.

Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. «Но на одной то руке всего пять Проект старинная система числение самое главноепальцев» — скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. Очень интересно понятие «дюжина». Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число — мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.

В разных цивилизациях считали по-разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда-то использовавшихся этим народом.

Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как «четырежды двадцать».

Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X — это две таких же руки.

Аддитивные системы счисления

В этой системе счисления для записи чисел используется уже не одна, а несколько цифр. Они могут изображаться так, как взбредет в голову, но только разные цифры должны выглядеть по-разному. Например в Египте единицы записывали палочками Проект старинная система числение самое главное, а десяток палочек заменяли на изображение пут для коровПроект старинная система числение самое главное, десяток пут — одна мерная веревкаПроект старинная система числение самое главное, и т. д. Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными (add добавлять, складывать англ.).

Проект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главное

 

Проект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главное

1

2

3

4

9

10

11

Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она крайне неудобна для счета.

Вы только попробуйте перемножить два вот таких числа:

Проект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главное

И

Проект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главноеПроект старинная система числение самое главное

Проект старинная система числение самое главное

А ведь всего-то это 1457  2026.Удобств для счета, как мы видим ни каких. Такой системой счисления пользовались Египтяне, Ацтеки, племена Майя.

Мультипликативные системы счисления

В таких системах счисления для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Все цифры здесь изображаются определенными символами.

Например 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, …, 99, 100, 101 …

Запись числа 1999 означает, что 11000 + 9100 + 910 + 9. Для того, чтобы «собрать» такое число используется умножение (multiplication англ.), из-за чего систему и назвали «мультипликативной».



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст


See also:
Яндекс.Метрика